representación gráfica del calculo
Para tener una idea intuitiva del conjunto, los números reales suelen representarse como los puntos de una recta. Para dicha representación fijamos dos puntos sobre una recta horizontal que llamamos origen y punto unidad, y les asignamos los números
1, respectivamente. El segmento entre 0 y 1 es tomado como unidad de medida y, llevado hacia la derecha del 1, nos permite representar los diferentes números naturales. 12 El conjunto de los números reales Llevando la misma unidad de medida hacia la izquierda de cero, se obtiene el resto de los números enteros. Los huecos serán rellenados por el resto de los números racionales e irracionales teniendo en cuenta los apartados
del teorema ??. Así, el hecho de que x ≤ y se interpreta como que el ” punto ” x se encuentra situado a la izquierda del ” punto ” y.
como en las matemáticas parte de la aplicación
Análisis Matemático
27 Como ejemplos más sencillos veremos los dos siguientes: Función parte entera: Se define la función Parte entera, E, como la función E :
R −→ R definida por E(x) = M ax{p ∈ Z; p ≤ x}. Dicha función es creciente y su gráfica puede representarse como una escalera ” infinita ” cuyos peldaños son intervalos de longitud uno, y que, en cada número entero, tiene un ” salto ” de altura uno.
Si A = [−2, 3], entonces la gráfica de la función E(x) restringida al conjunto A puede ser representada por -2 -1 1 2 3 -2 -1 1 2 Función valor absoluto. Se define la función valor absoluto como la función |.| : R −→ R, definida para cada x ∈ R por |x| = ½ x si x ≥ 0 −x si x < 0 La gráfica puede representarse como la unión de las bisectrices del primer y segundo cuadrante
Funciones arcocoseno,coseno y seno Vamos a estudiar ahora las funciones trigonométricas cuya importancia radica en que permiten expresar las distintas relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo, y porque sus propiedades le confieren una especial disposición para expresar muchos fenómenos naturales. Estas dos facetas hacen que su empleo en la Física y en la Ingeniería sea muy frecuente.
Consideremos la función f : [−1, 1] −→ R definida por f(x) = √ 1 − x 2 , ∀x ∈ [−1, 1]. La gráfica de esta función recibe el nombre de semicircunferencia unidad. -1 -0.5 0.5 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Pues bien, es sabido que la longitud de dicha gráfica es el π ' 3, 141592.
Definimos la función arcocoseno, arc cosx,
como la función biyectiva y estrictamente decreciente del intervalo [−1, 1] en el intervalo [0, π] definida por la ley arc cosx = longitud arco semicircunferencia que va desde el punto (1, 0) hasta el punto (x, f(x)). Se puede probar que: 1. arc cosx + arc cos(−x) = π. 2. arc cos(0) = π 2 . Función coseno Se llama función coseno y se nota por cosx a la única función de R en R par y periódica con periodo 2π cuya restricción
[0, π] es tal que cos(x) = (arc cos) −1 (x),
y por tanto, para cada
- cos(x) = (arc cos) −1 (x),
- x ∈ [0, π], arccos(cosx)
- √ 1 − x 2 , ∀x ∈ [−1, 1]
- = x, y para cada y ∈ [−1, 1],
- cos(arcosy) = y.
Teorema 1.2.1. 1
- . sen2x + cos2x = 1 (x ∈ R). 2. La restricción de la función coseno al intervalo [0, π] es una biyección estrictamente decreciente de éste en el intervalo [−1, 1], con cos0 = 1, cos π 2 = 0, cosπ = −1, cos π 4 = √ 2 2 , cos π 3 = 1 2 , cos π 6 = √ 3 2
- 3. La restricción de la función seno al intervalo [− π 2 , π 2 ] es una biyección estrictamente creciente de éste en el intervalo
- [−1, 1], con sen0 = 0, sen(− π 2 ) = −1, sen π 2 = 1, sen π 4 = √ 2 2 , sen π 3 = √ 3 2 sen π 6 = 1 2 . 4. La imagen de ambas funciones es el intervalo [−1, 1].
La restricción de la función coseno hiperbólico
a R + 0 (resp. R − 0 )
es una biyección estrictamente creciente (resp. decreciente)
de R + 0 (resp. R − 0 )
sobre [1, +∞[. 4. cosh2x − senh2x = 1. 5. cosh(x + y) = coshx coshy + senhx senhy. senh(x + y) = senhx coshy + coshx senhy.
La gráfica del seno hiperbólico es como sigue: -4 -2 2 4 -20 -10 10 20 La gráfica de la función coseno hiperbólico restringida a R + 0 es como sigue 1 2 3 4 5 10 15 20 25 Finalmente, diremos que, por analogía con las funciones trigonométricas, podemos hablar de tangente hiperbólica, tgh, la cual es una unidad.
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1. En una vasija de 30 cm de altura entra agua a ritmo constante. Se llena en 5 segundos.Usad esta información y la forma de la vasija para responder a las siguientes cuestiones: a) Si d representa la profundidad del agua medida en centímetros y t el tiempo transcurrido en segundos, explicad por qué d es función de t. b) Hallad el dominio y el recorrido de dicha función. c) Esbozad una posible gráfica de la función.
2. Sean las leyes f(x) = 1/x y g(x) = 1/ √ x correspondientes a dos funciones reales de variable real f y g. ¿Cuáles son los dominios naturales de f,g,f + g,fg,f ◦ g y g ◦ f?
3. Calcúlense los dominios naturales de las funciones correspondientes reales de variable real en cada uno de los casos siguientes: a) x 7−→ 1/1 + x. b) x 7−→ 1/1 + x 2 . c) x 7−→ 1/1 + √ x.
4.1 ¿Qué se puede decir acerca de la gráfica de una función par?,¿ y de una función impar? Dense ejemplos de funciones par, impar y no par ni impar.
5. Sea A un subconjunto de números reales y f : A −→ R una función real de variable real. Se dice que f está acotada (resp. acotada superiormente / inferiormente) si su conjunto imagen f(A) es un subconjunto de números reales acotado (resp. superiormente / inferiormente acotado). Prúebese que f está acotada si, y sólo si, existe M ∈ R, tal que, para cada x ∈ A, se verifica que |f(x)| ≤ M.
6. ¿Qué funciones componen la función f : R + −→ R en cada uno de los siguientes casos?
Una sucesión de elementos de un cierto conjunto A no es más que una "lista ordenada"de elementos de A o dicho de forma más rigurosa: una sucesión de elementos de A es una aplicación f : N −→ A. En lugar de escribir f(n) se suele escribir xn, mientras que la sucesión f suele notarse por {xn}n∈N ó simplemente {xn}. A xn se le denominará término n-ésimo de la sucesión {xn}n∈N. Una sucesión de números reales no es más que una sucesión en la que A = R. Dada una sucesión {xn}, al conjunto imagen {xn : n ∈ N} se le denomina conjunto de los términos de la sucesión {xn}. Así por ejemplo si consideramos la sucesión
{1, 0, 1, 0, 1, ...} su conjunto de los términos está formado por sólo dos elementos, a saber {0, 1}. Veamos ahora algunas propiedades que pueden tener las sucesiones. Se dice que una sucesión de números reales {xn}n∈N
1. está mayorada, si existe un número real M tal que xn ≤ M, para todo n ∈ N,
2. está minorada, si existe un número real M tal que xn ≥ M, para todo n ∈ N,
3. está acotada si está mayorada y minorada. Es fácil probar que una sucesión está acotada si, y sólo si, existe un número real positivo M tal que |xn| ≤ M, para todo n ∈ N. 40
5.1 Sucesiones de números reales 4. es creciente si, para el mismo numero .
Es fácil ver que toda sucesión convergente está acotada. Sin embargo, la sucesión {1, 0, 1, 0, ...} que está mayorada por 1 y minorada por 0, luego acotada, demuestra que existen sucesiones acotadas que no son convergentes. En el siguiente resultado recogemos más propiedades importantes de las sucesiones.
